الاعداد المركبة

الوحدة الخامسة الأعداد المركبة
مقدمة : لو حاولنا حل المعادلة س2 + 1 = 0 فإن س2 = -1 أي أن
س = ± -1 وهذا ليس عدد حقيقي أي أن هذه المعادلة ليس لها حل في ح . المر الذي استدعى توسيع ح إلى مجموعة أوسع تسمى مجوعة الأعداد المركبة ويرمز لها بالرمز ( ﮐ )


(5-1) الأعداد التخيلية
تعريف : ت = -1 حيث ت2 = -1 ويسمى ت الوحدة التخيلية .
مثال: - -9 = 9× -1 = -1 × 9 = 3 ت
-8 = 8 × -1 = 8 ت
بشكل عام -1 = أ ت حيث أ عدد حقيقي

ملاحظة هامة : إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين سالبين فإن
أ × ب ≠ أ × ب
مثلاً -2 × -2 ≠ -2 × -2

قوى ت الصحيحة :
ت = -1 ، ت-2 = -1 ، ت3 = ت × ت2 = -1 × ت = -ت
ت4 = ت2 × ت2 = -1 × -1 = 1
بوجه عام فإن القوى الصحيحة المختلفة للعدد ت تكون أحد المقادير الأربعة التالية ت ، - ت ، 1 ، -1
الشكل الخاص ت4ت = 1 حيث ت عدد صحيح
مثلاً : ت8 = ت 4×2 = 1
ت28 = ت4×7 = 1
ت 14 = ت 4×3+2 = ت4×3 × ت2 = 1 × - 1 = -1
ت93 = ت92 × ت1 = ت4×23 × ت = 1 × ت = ت
ت-13 = ت -16+3 = ت-16 × ت-3 = 1 × ت3 = - ت

بصورة عامة يكون ت4ن+ر = تر حيث ن عدد صحيح
ر = 0 ، 1 ، 2 ، 3

حل تمارين الكتاب صفحة 5
1) جد قيمة كل مما يلي بأبسط صورة
ت13 ، ت19 ، ت60 ، ت-3 ، ت-17
الحل: ت13 = ت12+1 = ت1 = ت
ت19 = ت16+3 = ت3 = - ت
ت60 = ت4+15 = 1
ت-3 = ت-20+3 = ت3 = - ت

2) اكتب كلاً مما يلي بأبسط صورة :
-25 ، -19 ، -75 ، -0.04 ، -9 × -16
الحل: -25 = -1 × 25 = -1 × 25 = 5 ت

-19 = -1 × 19 = 19 ت
-75 = -1 × 75 = ت × 25 × 3 = 5 3 ت
-0.04 = -1 × 0.04 = 0.2 ت
-9 × -16 = -1 × 9 × -1 × 16 = 3 ت × 4 ت
= 12 × ت2 = -1 × 12 = -12



X 1 -1 - ت ت
1 1 -1 -ت ت
-1 -1 1 ت - ت
- ت -ت ت -1 1
ت ت -ت 1 -1
3) لتكن س = { 1 ، -1 ، - ت ، ت } أكمل الجدول المجاور ثم أجب عن الأسئلة التالية
أ) هل المجموعة س مغلقة تحت عملية الضرب ؟
ب) هل عملية الضرب تجميعية على س ؟
ﺠ ) هل يوجد عنصر محايد لهذه العملية ؟
د ) هل يوجد لكل عنصر في س عنصر نظير في س ؟
ﻫ ) هل عملية الضرب على س تبديلية ؟
و ) ماذا يمكننا وصف النظام ( س ، X ) ؟
الحل : أ) نعم مغلقة
ب) نعم تجميعية ( -1 × -ت ) × ت = ت × ت = - 1
- 1 × ( - ت × ت ) = -1 × 1 = -1
ﺠ ) العدد 1 هو العنصر المحايد
د ) نعم لكل عنصر نظير نظير العدد 1 هو 1
نظير العدد -1 هو -1 نظير العدد - ت هو ت
نظير العدد ت هو - ت
ﻫ ) عملية الضرب على س تبديلية .
و) النظام ( س ، X ) زمرة تبديلية .






حل تمارين إضافية صفحة 5
1) بين أن : ت15 + ت16 + ت17 + ت18 = صفر
الحل: الطرف الأيمن
= ت15 + ت16 + ت17 + ت18 = ت4×3+3 + ت4×4 + ت4×4+1 + ت4×4+2
= ت3 + 1 + ت + ت2 = - ت + 1 + ت – 1 = صفر
= الطرف الأيسر
2) إذا كانت س = ت فأوجد قيمة المقدار : س3 + س2 - س + 1
الحل: س3 + س2 – س + 1 = ت3 + ت2 – ت + 1
= - ت + - 1 – ت + 1 = - 2 ت

3) أثبت أن : 1 + 2 ت + 3ت2 = -2
1 + 2 ت + 3ت3
الحل : الطرف الأيمن = 1 + 2 ت + 3 ت2 = 1 + 2 ت + - 3
1 + 2 ت + 3 ت3 1 + 2 ت – 3 ت
= 2 ت – 2 = 2 ( ت – 1 ) = 2 ( ت – 1 ) = 2 = - 2
1 – ت 1 – ت -1 ( ت – 1 ) -1



( 5-2) مجموعة الأعداد المركبة ( ﮐ ) :

تعريف :
العدد المركب : هو أي عدد ع يمكن كتابته على الصورة : ع = أ + ب ت حيث أ ، ب ح ، ت = -1 ويسمى أ الجزء الحقيقي من العدد المركب ، ب الجزء التخيلي من العدد المركب .
مثال: ع = 7 +8 ت عدد مركب الجزء الحقيقي هو 7 والجزء التخيلي 8
ع = -3 ت عدد مركب الجزء الحقيقي هو صفر والجزء التخيلي -3
ع = 7 عدد مركب الجزء الحقيقي هو 7 والجزء التخيلي صفر
نلاحظ من المثال الأخير أن مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة .
مثال: اكتب الأعداد التالية على صورة أعداد مركبة ( أ + ب ت )
أ) 9 ب) - 5 ﺠ) -9 د ) - 5- -16
ﻫ ) ت + ت-15
الحل: أ) 9 = 9 + 0 ت
ب) - 5 = - 5 + 0 ت
ﺠ) -9 = -1×9 = 3 ت = 0 + 3 ت
د) - 5 - -16 = - 5 - -1×16 = - 5 – 4 ت
ﻫ ) ت + ت-15 = ت + ت -16+1 = ت + ت = 2 ت
= 0 + 2 ت

اشكرك اخي محمد على موضوع الاعداد المركبه ----- والى الامام

لك تحياتي ----------------------- قسام

شكرا اخ محمد سباعنة على التذكير و الافادة بموضوع الاعداد المركبة اتمنى لك التقدم
تقبل تحياتي.......

السلام..
مشاركة ممتازة يا محمد...
ان شا الله نشوف مشاركات منك في الفيزياء....
الى الامام...بمزيد من التقدم

شكرا على مروركم
حاضر ياستاذ هلاء بضيف موضوع للفيزياء

مشكور اخوي محمد هو احنا ما صدقنا على الله واحنا نخلص من حصه الرياضيات تا تجيبلنا هون رياضيات

مشكور على الشرح يا اخ محمد




تحياتي

مشكور يا اخي بدنا مواضيع اكثر

السلام عليكم
محمد ابو عبيد زهقان يا سباعنة
شو قصتو هالولد
والله كان ممتاز في الرياضيات
نتمنى له العودة الى وضعه الطبيعي
مشكور