العمليات على الأعداد الصحيحة. لحل مسائل الحساب، نســتخدم أربــع عمليات أساسية هي: 1-الجمع 2- الطرح 3- الضرب 4- القسمة.
جمع الأعداد.
عامل بناء يضيف الطوب لحائط بوضع واحدة تلو الأخرى وبهذه الطريقة نفسها، يمكننا جمع الأعداد بوضعها معاً.
الجمع. إذا واجهتنا مسألة خاصة بإيجاد العدد الكلي لمجموعة الأشياء الموجودة في مجموعتين أو أكثر، فإن الإجابة عن هذه المسألة تسمى الجمع. ولإيجاد الحل بإمكاننا أن نضم المجموعات المعنية، ثم نحسب عدد المجموعة الناتجة. وبهذه الطريقة، نكون قد استخدمنا العد للجمع. غير أن هذه الطريقة تتسم بعدم المهارة، والبطء لدرجة جعلت الناس يخترعون طرقاً مختصرة. فعلى سبيل المثال، إذا وضعنا أربع تفاحات مع ثلاث أخريات، ووجدنا المجموع، فإننا نكتب هذه العملية بالشكل 4 + 3 = 7، وهي إحدى حقائق الجمع كما يسميها بعض علماء الرياضيات.
وحتى يتسنى لنا إجراء عمليات جمع أكثر تعقيدًا، دون العد، يلزم أن نتعلم 18 حقيقة كهذه. وبعض هذه الحقائق سهل، مثل: 2+3=5 و 2+1=3، وبعضها صعب عند التعلّم مثل 9+8=17 و 9+9=18 انظر: جمع الأعداد.
الطرح
الطرح. يسمى الطرح أحياناً عكس الجمع. وهناك عدة حالات في علم الحساب تسمى الطرح.
ومن أنواع الطرح ما نسميه الحذف، فإذا كان لدينا 15 كتاباً وحذفنا منها 7 فكم كتاباً يتبقى ؟. وعند المقارنة قد نسأل: إذا كان لأحمد 15 كتاباً ولعمر 7 كتب فكم يزيد ما عند أحمد من الكتب على ما عند عمر ؟، أو قد نسأل أسئلة من نوع: ما المقدار الإضافي؟ فمثلاً، إذا اشترت فاطمة 7 كتب من سلسلة فيها 15 كتاباً فكم كتاباً إضافياً يلزمها شراؤه لتكمل السلسلة ؟
وجميع هذه التساؤلات يمكن رصدها بعملية الطرح 15-7= 8 انظر: الطرح.
الضرب الناتج
الضرب. يقدم لنا الضرب بالأعداد الصحيحة طريقة مختصرة لجمع، أو عد الأعداد المتساوية. فإذا رغبنا في ضم 3 مجموعات، في كل منها 5 تفاحات، فبإمكاننا أن نحسب عدد التفاح بالجمع والعد
وهذه هي إحدى حقائق الضرب، وعلينا أن نتعلم العديد منها حتى نتمكن من إجراء عمليات الضرب. وتبوب هذه الحقائق فيما يسمى جدول الضرب. انظر: الضرب.
مجموع التفاح
ناتج القسمة
القسمة. العملية التي تمكننا من تجزئة مجموعة أشياء إلى أجزاء متساوية. فإذا أردنا مثلاً أن نقسم 18 تفاحة على 6 أشخاص، فسنحصل على نصيب كل منهم، بتقسيم التفاح إلى ستة أكوام متساوية، وعندئذ نستطيع أن نكتب الإجابة بالشكل التالي : 18÷6= 3
وتعطي قسمة 18 تفاحة على 6 أشخاص، 3 تفاحات لكل واحد منهم.
وهناك نوع آخر من المسائل التي تواجهنا في القسمة. فلو أن لدينا 18 تفاحة، ورغبنا في أن نملأ منها صناديق هدايا، يسع كل منها 6 تفاحات، فكم صندوقاً نستطيع أن نملأ ؟ والإجابة هي ثلاثة صناديق. ونسجل هذه الحقيقة، كما فعلنا سابقاً بالشكل التالي: 18 ÷ 6= 3. لاحظ أننا في السؤال الأول نقسم التفاح إلى أكوام متساوية، أما في الثاني، فإننا نستخرج 6 من 18 أقصى عدد من المرات. انظر: القسمة.
إخراج قطعة علك يماثل عملية الطرح. عندما نبعد بعض الأشياء من مجموعة ما، يدلنا الطرح على العدد المتبقي منها.
التحقق من الإجابات. بما أن الأخطاء قد تتسرب إلى عملنا، فإن التحقق من الإجابات يصبح أمراً مهماً في علم الحساب. ولمراجعة الجمع، يقوم الناس ـ عادة ـ بإعادة العملية، ولكن بطريقة مختلفة. فعلى سبيل المثال، لو جمعنا عموداً من الأعداد ابتداء من أعلى إلى أسفل، فإن أفضل طريقة للتحقق من صحة الإجابة هي أن نجمع ابتداء من أسفل إلى أعلى، أما الطرح فنراجعه بالجمع، بينما يتم تدقيق الضرب بالقسمة، والقسمة بالضرب.
والتقدير الأولي لما يجب أن تكون عليه الإجابة يمثل مؤشراً جيداً لمراجعة ابتدائية تجنبنا الوقوع في أخطاء فادحة. ويمكن تقريب الأعداد الواردة في المسألة بأخرى أكثر سهولة عند التعامل معها. فمثلاً، لو أردنا أن نضرب 8×47 فبإمكاننا أن نقرب 47 بالعدد 50، ونلاحظ أن 8×50=400، وعندئذ نرى أن الإجابة الصحيحة ستكون أقل قليلاً من 400.
وبالإمكان إجراء هذا النوع من التحقيق ذهنياً بما يعرف باسم الحساب الذهني. ونستطيع عن طريق الحساب الذهني أن نخطو خطوة أبعد من مجرد التقدير. ففي المثال أعلاه، قربنا 8×47 بـ 8×50، ولكن بما أن 47 تقل بثلاثة عن 50، فإن 400 تزيد بـ 8×3، أي 24 على 8×47. ومن ثم تكون الإجابة الصحيحة هي 400-24 أي 376. وبالتدريب على نوع هذا المثال وغيره من الأمثلة التي تتطلب إعادة التجميع، يستطيع الفرد أن يصبح متمرسـًا في حساب هذا الشكل من المسائل ذهنياً.
استخدام الكسور
قياس ومقارنة المقادير. رأينا أن العديد من مسائل علم الحساب تحل بوساطة عد أو تجميع الأعداد، وأن الحلول أعداد صحيحة. غير أن هناك مسائل أخرى تحل بوساطة قياس ومقارنة المقادير. ولرصد حلول هذه الأنواع، كثيرًا ما نحتاج لاستخدام الكسور .
وفي بعض مسائل القياس بالسنتيمترات، قد نستخدم المسطرة. ولقياس كمية الوقود المشتراة باللترات، مثلاً نستخدم جهاز القياس الملحق بالمضخة. وسنجد في أحيان عديدة عند قياسنا لهذه المقادير أن الإجابة ليست عددًا صحيحـًا من السنتيمترات أو اللترات. وعندئذ نسجل نتيجة القياس لأقرب ربع أو عشر أو جزء من الستين، أو جزء من المائة من وحدة ما، وذلك اعتماداً على الدقة التي نريدها، والدقة المتوافرة لأجهزة القياس المستخدم. انظر: القياس.
ومن ثم فإننا نقدم الإجابات عن الأسئلة المتعلقة بالناس أو البيض أو البيوت، أو ما شابه ذلك بوساطة الأعداد الصحيحة. ويكون عندئذ نظام الأرقام: 0، 1، 2، 3 وهكذا، مناسباً، ولا نحتاج لاستخدام الكسور، ولكن عند القياس، كثيراً ما نحصل على قيم بينية تستلزم استخدامنا للكسور.
وعندما نقوم بمقارنة مقدارين، فإننا نحصل على نسبة؛ فمثلاً، إذا كان لعلي ست كريات، ولعثمان ثمان، فإن نسبة ما عند علي من الكريات إلى ما عند عثمان هي 6 إلى 8، ونكتبها عادة بالشكل 8/6 أو الشكل 6/8. وتسمى هذه النسبة لعددين صحيحين كسرًا. وبالإمكان كتابة الكسر العادي بالشكل العشري 0,75 أو في شكل نسبة مئوية 75%. وكل هذه الأشكال تمثل العدد نفسه. انظر: النسبة.
الكسور العادية. يتكون كل كسر عادي من جزأين. الجزء الأعلى ويسمى البسط، والأسفل ويسمى المقام، ويفصل بينهما خط مستقيم يدعى شرطة الكسر. فإذا قسمنا بوصة إلى أربعة أجزاء متساوية، ورأينا أن نسجل طول ثلاث من هذه القطع، فسنكتبه على النحو التالي: 3/4 بوصة، حيث يبين الكسر أننا أخذنا ثلاثة أجزاء من الأربعة التي قسمت إليها البوصة.
وللكسور العادية معنيان آخران. ففي مسائل النسبة يكون البسط عدداً تجري مقارنته بالعدد في المقام. كما أننا نقوم أحياناً بتسجيل القسمة في هيئة كسر. فعلى سبيل المثال، يحمل 8/4 المعنى نفسه لـ 8 ÷ 4.
وعند استخدام الكسور العادية، قد تمثل نتيجة قياس أو نسبة ما بكسور متعددة، فللكسور 3/4، 6/8، 9/12، 75/100 القيمة نفسها. وبالإمكان الوصول بكل واحد منها للقيمة ذاتها عن طريق قسمة كل من البسط والمقام بعدد مناسب. فإذا قسمنا كلاً من بسط ومقام الكسر 9/12 بالعدد 3 مثلاً، سنحصل على الكسر المكافئ 3/4 . وهناك قاعدة في الحساب نستطيع عن طريقها أن نختبر تكافؤ كسرين حتى وإن تعذرت ملاحظة العدد الذي ينبغي أن نقسم عليه لننتقل من أحد الكسرين إلى الآخر. يتساوى كسران في القيمة إذا كان حاصل ضرب بسط الأول بمقام الثاني، يساوي حاصل ضرب بسط الثاني بمقام الأول. فمثلاًً = 2/3 =34/51 ، لأن كلا من 51×2 و 3×34 يساوي 102.
وللتعرف على طرق جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور، انظر: الكسر.
الكسور العشرية. هذه هي الكسور المصوغة كجزء من النظام العشري. وتوضع الفاصلة العشرية على يمين رقم الآحاد مباشرة، وهو مركز النظام العشري. فعلى سبيل المثال، قد نكتب كسرًا عشريـًا بالشكل التالي: 3210,123
فأول رقم يظهر يسار الفاصلة يعين الآحاد، بينما الأول يمينها يعين الأعشار. كذلك الرقم الثاني يسارها يعين العشرات، بينما الثاني يمينها يعين الأجزاء من المائة، وهكذا. وعلى هذا، فإن 16,7 مثلاً، يعني عشرة واحدة، 6 آحاد و7 أعشار. وبإمكاننا أن نكتب الكسر بالشكل التالي: 7/10 16.
النسب المئوية. هذه كسور تمثل بوساطة أجزاء المائة. فواحد في المائة من عدد ما يعني جزءاً من المائة من ذلك العدد. والرمز المستخدم للنسبة المئوية هو % ولذا فإن 80% تعني 80/100 أو 0,80 انظر: النسبة المئوية,
تحويل الكسور. من الصعوبة أن يكون لدينا ثلاث صيغ رمزية للكسور، ولذا علينا أن نتعلم كيف ننتقل من صيغة إلى أخرى، غير أنه من السهل علينا تعلم القواعد التي تحكم مثل هذا الانتقال .
1- التحويل من كسر عادي إلى كسر عشري، نقوم هنا بقسمة البسط على المقام كما في المثال التالي:
7/8 = 0,875
7000 ÷ 8
2- تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري، هنا نتذكر أن علامة النسبة المئوية تعني جزءًا من المئة، فنقسم العدد الذي يسبقها بمائة، الأمر الذي يعني تحريك الفاصلة العشرية خانتين إلى اليسار. على سبيل المثال 75% تساوي 0,75
3- تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي، هنا نقرأ الكسر بصوت عال، ثم نكتب العدد الذي قرأناه في شكل كسر، فمثلا 0,25 تقرأ 25 من مئة، فنكتب 25/100، وباستطاعتنا بعد هذا أن نقسم كلاً من البسط والمقام بالعدد 25 فنحصل على 1/4 .
التناسب. يكون أي كسرين متكافئين تناسـبا، مثل 3/4 = 6/8 أو 2/25 = 8/100. وتأخذ فكرة التناسب أهميتها عندما نعلم ثلاثة من الحدود ونرغب في معرفة الرابع. فلنفترض مثلا أن أحدنا قام بحل 16 سؤالاً من 25 في اختبار ما، ويرغب في معرفة كم جزءاً من المائة يشكل ما حله. إن أفضل طريقة للحصول على النتيجة هي أن نقول إن: 16 مقارنة بـ 25 هي كالعدد المطلوب مقارنا بـ 100 ولذا نكتب 16/25 = ؟/100. وهناك طريقتان لحل هذه المسألة، الطريقة الأولى هي بملاحظة أن ضرب 25 بالعدد 4 يعطينا 100، ولذا يجب علينا أن نضرب 16 بالعدد 4 فنحصل على 16/25 = 64/100. ونستطيع التحقق من صحة الإجابة بضرب بسط الأول في مقام الثاني، ومقارنته بحاصل ضرب بسط الثاني في مقام الأول. أما في الطريقة الثانية فنضع حرف ب مثلا ليمثل العدد المطلوب، وعندئذ يكون لدينا 16/25 = ب/100 وبما أن الكسرين متساويان، فإن حاصل ضرب 16 بمائة لابد أن يساوي حاصل ضرب (ب) بخمس وعشرين، فيكون لدينا 1,600 = 25 (ب). وإذا قسمنا طرفي هذه المعادلة بالعدد 25 نحصل على (ب) = 64 انظر: التناسب.
نبذة تاريخية
نمَّى قدماء المصريين المهارات الأساسية في علم الحساب قبل آلاف السنين. رسم على حائط يرجع إلى 1500 ق. م يبين المصريين وهم يقيسون ويسجلون مقادير حصادهم. وهذا الرسم في مقبرة بمدينة طيبة القديمة، الأقصر الآن .
قام العلماء المختصون بترجمة ألواح الطين البابلية. فاتضح أن البابليين كانوا على قدر كبير من البراعة في علم الحساب والفلك، وذلك منذ أكثر من 4000 سنة؛ حيث قاموا باستحداث وتطوير النظام الذي نستخدمه الآن لقياس الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. ولما كان هنالك 60 ثانية في الدقيقة، و 60 دقيقة في الساعة، فقد بني هذا النظام على العشرات حتى العدد 60، وعلى 60 من بعد ذلك. وتدل الألواح الطينية على أن البابليين منذ مايقرب من 2,400 سنة مضت قد استخدموا رمزاً للعدد صفر، ورمزا آخر للفاصلة العشرية. ومع أننا قد ورثنا فكرة استخدام العدد 60 للزمن والزوايا، إلا أن فكرة البابليين عن قيمة الخانة ضاعت منا حتى أعاد الهنود اكتشافها .
العرب وعلم الحساب. كانت طريقة العرب القديمة في الحساب هي نظام العدّ في كل عمليات البيع والشراء والتوريث وقياس الأرض وعمليات الوزن والمكيال وتوزيع الغنائم وحساب الأيام والليالي... إلخ. وكان ذلك إلى بداية العصر العباسي، ثم أخذوا بعد ذلك بحساب الجمل أي بالأحرف.
كان الهنود يستعملون سوينا وتعني الفراغ أو الخواء لتدل على كلمة صفر، وكان العرب يستخدمون هذا اللفظ (صفر) للدلالة على معنى الخلو منذ أمد بعيد. ومن ذلك قولهم صفر اليدين؛ أي خال اليدين، ومنها صفر الشهر المعروف. وقد كان الصفر العربي يرسم في الأصل حلقة صغيرة وسطها فراغ وبقيت على ذلك في المغرب الإسلامي والأندلس، بينما انطمست في المشرق فصارت نقطة (0) للتفريق بين الصفر والرقم 5 (خمسة) وقد ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية تعود إلى عام 274هـ، 787م وذلك قبل أن تظهر في الكتب الهندية. وقد كان لظهور الصفر دور كبير في حل مسائل حسابية كثيرة وبناء المعادلات الرياضية الكبرى التي ظهرت فيما بعد.
ومن الذين اهتموا بالرياضيات وعلوم الحساب الكندي (ت252هـ) وجماعة إخوان الصفا وأبو بكر محمد بن الحسن الكرخي (ت420هـ) وابن البنّاء المراكشي (ت721هـ) وغياث الدين جمشيد الكاشي (ت840هـ) صاحب كتاب مفتاح الحساب حيث توسع في استخدام الأرقام الهندية، وابن الهائم القاضي (ت815هـ) وغيرهم من علماء الحساب الذين وضعوا أصوله وألَّفوا في مناحيه الكثير من المسائل والأرقام والعوامل الحسابية وعلاقاتها بعضها ببعض.
لمزيد من المعلومات، انظر: العلوم عند العرب والمسلمين (العلوم الرياضية).
ونظام الاعداد اليوم في معظم بقاع العالم من اختراع الهنود، ثم قام العرب بنقلة إلى أوربا قبل عام 1200م , و غير ان استخدام الفاصلة العشرية لم يظهر الا بعد القرن السابع عشر .
واستخدامنا للكسور العشرية في تزايد. فبدلا من قياس السوائل بأرباع الجالون أو الباينتات، فإننا نقيسها بالنظام المتري، ونكتب الكسور بشكلها العشري، بدلاً من كتابتها كسوراً عادية
جمع الأعداد.
عامل بناء يضيف الطوب لحائط بوضع واحدة تلو الأخرى وبهذه الطريقة نفسها، يمكننا جمع الأعداد بوضعها معاً.
الجمع. إذا واجهتنا مسألة خاصة بإيجاد العدد الكلي لمجموعة الأشياء الموجودة في مجموعتين أو أكثر، فإن الإجابة عن هذه المسألة تسمى الجمع. ولإيجاد الحل بإمكاننا أن نضم المجموعات المعنية، ثم نحسب عدد المجموعة الناتجة. وبهذه الطريقة، نكون قد استخدمنا العد للجمع. غير أن هذه الطريقة تتسم بعدم المهارة، والبطء لدرجة جعلت الناس يخترعون طرقاً مختصرة. فعلى سبيل المثال، إذا وضعنا أربع تفاحات مع ثلاث أخريات، ووجدنا المجموع، فإننا نكتب هذه العملية بالشكل 4 + 3 = 7، وهي إحدى حقائق الجمع كما يسميها بعض علماء الرياضيات.
وحتى يتسنى لنا إجراء عمليات جمع أكثر تعقيدًا، دون العد، يلزم أن نتعلم 18 حقيقة كهذه. وبعض هذه الحقائق سهل، مثل: 2+3=5 و 2+1=3، وبعضها صعب عند التعلّم مثل 9+8=17 و 9+9=18 انظر: جمع الأعداد.
الطرح
الطرح. يسمى الطرح أحياناً عكس الجمع. وهناك عدة حالات في علم الحساب تسمى الطرح.
ومن أنواع الطرح ما نسميه الحذف، فإذا كان لدينا 15 كتاباً وحذفنا منها 7 فكم كتاباً يتبقى ؟. وعند المقارنة قد نسأل: إذا كان لأحمد 15 كتاباً ولعمر 7 كتب فكم يزيد ما عند أحمد من الكتب على ما عند عمر ؟، أو قد نسأل أسئلة من نوع: ما المقدار الإضافي؟ فمثلاً، إذا اشترت فاطمة 7 كتب من سلسلة فيها 15 كتاباً فكم كتاباً إضافياً يلزمها شراؤه لتكمل السلسلة ؟
وجميع هذه التساؤلات يمكن رصدها بعملية الطرح 15-7= 8 انظر: الطرح.
الضرب الناتج
الضرب. يقدم لنا الضرب بالأعداد الصحيحة طريقة مختصرة لجمع، أو عد الأعداد المتساوية. فإذا رغبنا في ضم 3 مجموعات، في كل منها 5 تفاحات، فبإمكاننا أن نحسب عدد التفاح بالجمع والعد
وهذه هي إحدى حقائق الضرب، وعلينا أن نتعلم العديد منها حتى نتمكن من إجراء عمليات الضرب. وتبوب هذه الحقائق فيما يسمى جدول الضرب. انظر: الضرب.
مجموع التفاح
ناتج القسمة
القسمة. العملية التي تمكننا من تجزئة مجموعة أشياء إلى أجزاء متساوية. فإذا أردنا مثلاً أن نقسم 18 تفاحة على 6 أشخاص، فسنحصل على نصيب كل منهم، بتقسيم التفاح إلى ستة أكوام متساوية، وعندئذ نستطيع أن نكتب الإجابة بالشكل التالي : 18÷6= 3
وتعطي قسمة 18 تفاحة على 6 أشخاص، 3 تفاحات لكل واحد منهم.
وهناك نوع آخر من المسائل التي تواجهنا في القسمة. فلو أن لدينا 18 تفاحة، ورغبنا في أن نملأ منها صناديق هدايا، يسع كل منها 6 تفاحات، فكم صندوقاً نستطيع أن نملأ ؟ والإجابة هي ثلاثة صناديق. ونسجل هذه الحقيقة، كما فعلنا سابقاً بالشكل التالي: 18 ÷ 6= 3. لاحظ أننا في السؤال الأول نقسم التفاح إلى أكوام متساوية، أما في الثاني، فإننا نستخرج 6 من 18 أقصى عدد من المرات. انظر: القسمة.
إخراج قطعة علك يماثل عملية الطرح. عندما نبعد بعض الأشياء من مجموعة ما، يدلنا الطرح على العدد المتبقي منها.
التحقق من الإجابات. بما أن الأخطاء قد تتسرب إلى عملنا، فإن التحقق من الإجابات يصبح أمراً مهماً في علم الحساب. ولمراجعة الجمع، يقوم الناس ـ عادة ـ بإعادة العملية، ولكن بطريقة مختلفة. فعلى سبيل المثال، لو جمعنا عموداً من الأعداد ابتداء من أعلى إلى أسفل، فإن أفضل طريقة للتحقق من صحة الإجابة هي أن نجمع ابتداء من أسفل إلى أعلى، أما الطرح فنراجعه بالجمع، بينما يتم تدقيق الضرب بالقسمة، والقسمة بالضرب.
والتقدير الأولي لما يجب أن تكون عليه الإجابة يمثل مؤشراً جيداً لمراجعة ابتدائية تجنبنا الوقوع في أخطاء فادحة. ويمكن تقريب الأعداد الواردة في المسألة بأخرى أكثر سهولة عند التعامل معها. فمثلاً، لو أردنا أن نضرب 8×47 فبإمكاننا أن نقرب 47 بالعدد 50، ونلاحظ أن 8×50=400، وعندئذ نرى أن الإجابة الصحيحة ستكون أقل قليلاً من 400.
وبالإمكان إجراء هذا النوع من التحقيق ذهنياً بما يعرف باسم الحساب الذهني. ونستطيع عن طريق الحساب الذهني أن نخطو خطوة أبعد من مجرد التقدير. ففي المثال أعلاه، قربنا 8×47 بـ 8×50، ولكن بما أن 47 تقل بثلاثة عن 50، فإن 400 تزيد بـ 8×3، أي 24 على 8×47. ومن ثم تكون الإجابة الصحيحة هي 400-24 أي 376. وبالتدريب على نوع هذا المثال وغيره من الأمثلة التي تتطلب إعادة التجميع، يستطيع الفرد أن يصبح متمرسـًا في حساب هذا الشكل من المسائل ذهنياً.
استخدام الكسور
قياس ومقارنة المقادير. رأينا أن العديد من مسائل علم الحساب تحل بوساطة عد أو تجميع الأعداد، وأن الحلول أعداد صحيحة. غير أن هناك مسائل أخرى تحل بوساطة قياس ومقارنة المقادير. ولرصد حلول هذه الأنواع، كثيرًا ما نحتاج لاستخدام الكسور .
وفي بعض مسائل القياس بالسنتيمترات، قد نستخدم المسطرة. ولقياس كمية الوقود المشتراة باللترات، مثلاً نستخدم جهاز القياس الملحق بالمضخة. وسنجد في أحيان عديدة عند قياسنا لهذه المقادير أن الإجابة ليست عددًا صحيحـًا من السنتيمترات أو اللترات. وعندئذ نسجل نتيجة القياس لأقرب ربع أو عشر أو جزء من الستين، أو جزء من المائة من وحدة ما، وذلك اعتماداً على الدقة التي نريدها، والدقة المتوافرة لأجهزة القياس المستخدم. انظر: القياس.
ومن ثم فإننا نقدم الإجابات عن الأسئلة المتعلقة بالناس أو البيض أو البيوت، أو ما شابه ذلك بوساطة الأعداد الصحيحة. ويكون عندئذ نظام الأرقام: 0، 1، 2، 3 وهكذا، مناسباً، ولا نحتاج لاستخدام الكسور، ولكن عند القياس، كثيراً ما نحصل على قيم بينية تستلزم استخدامنا للكسور.
وعندما نقوم بمقارنة مقدارين، فإننا نحصل على نسبة؛ فمثلاً، إذا كان لعلي ست كريات، ولعثمان ثمان، فإن نسبة ما عند علي من الكريات إلى ما عند عثمان هي 6 إلى 8، ونكتبها عادة بالشكل 8/6 أو الشكل 6/8. وتسمى هذه النسبة لعددين صحيحين كسرًا. وبالإمكان كتابة الكسر العادي بالشكل العشري 0,75 أو في شكل نسبة مئوية 75%. وكل هذه الأشكال تمثل العدد نفسه. انظر: النسبة.
الكسور العادية. يتكون كل كسر عادي من جزأين. الجزء الأعلى ويسمى البسط، والأسفل ويسمى المقام، ويفصل بينهما خط مستقيم يدعى شرطة الكسر. فإذا قسمنا بوصة إلى أربعة أجزاء متساوية، ورأينا أن نسجل طول ثلاث من هذه القطع، فسنكتبه على النحو التالي: 3/4 بوصة، حيث يبين الكسر أننا أخذنا ثلاثة أجزاء من الأربعة التي قسمت إليها البوصة.
وللكسور العادية معنيان آخران. ففي مسائل النسبة يكون البسط عدداً تجري مقارنته بالعدد في المقام. كما أننا نقوم أحياناً بتسجيل القسمة في هيئة كسر. فعلى سبيل المثال، يحمل 8/4 المعنى نفسه لـ 8 ÷ 4.
وعند استخدام الكسور العادية، قد تمثل نتيجة قياس أو نسبة ما بكسور متعددة، فللكسور 3/4، 6/8، 9/12، 75/100 القيمة نفسها. وبالإمكان الوصول بكل واحد منها للقيمة ذاتها عن طريق قسمة كل من البسط والمقام بعدد مناسب. فإذا قسمنا كلاً من بسط ومقام الكسر 9/12 بالعدد 3 مثلاً، سنحصل على الكسر المكافئ 3/4 . وهناك قاعدة في الحساب نستطيع عن طريقها أن نختبر تكافؤ كسرين حتى وإن تعذرت ملاحظة العدد الذي ينبغي أن نقسم عليه لننتقل من أحد الكسرين إلى الآخر. يتساوى كسران في القيمة إذا كان حاصل ضرب بسط الأول بمقام الثاني، يساوي حاصل ضرب بسط الثاني بمقام الأول. فمثلاًً = 2/3 =34/51 ، لأن كلا من 51×2 و 3×34 يساوي 102.
وللتعرف على طرق جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور، انظر: الكسر.
الكسور العشرية. هذه هي الكسور المصوغة كجزء من النظام العشري. وتوضع الفاصلة العشرية على يمين رقم الآحاد مباشرة، وهو مركز النظام العشري. فعلى سبيل المثال، قد نكتب كسرًا عشريـًا بالشكل التالي: 3210,123
فأول رقم يظهر يسار الفاصلة يعين الآحاد، بينما الأول يمينها يعين الأعشار. كذلك الرقم الثاني يسارها يعين العشرات، بينما الثاني يمينها يعين الأجزاء من المائة، وهكذا. وعلى هذا، فإن 16,7 مثلاً، يعني عشرة واحدة، 6 آحاد و7 أعشار. وبإمكاننا أن نكتب الكسر بالشكل التالي: 7/10 16.
النسب المئوية. هذه كسور تمثل بوساطة أجزاء المائة. فواحد في المائة من عدد ما يعني جزءاً من المائة من ذلك العدد. والرمز المستخدم للنسبة المئوية هو % ولذا فإن 80% تعني 80/100 أو 0,80 انظر: النسبة المئوية,
تحويل الكسور. من الصعوبة أن يكون لدينا ثلاث صيغ رمزية للكسور، ولذا علينا أن نتعلم كيف ننتقل من صيغة إلى أخرى، غير أنه من السهل علينا تعلم القواعد التي تحكم مثل هذا الانتقال .
1- التحويل من كسر عادي إلى كسر عشري، نقوم هنا بقسمة البسط على المقام كما في المثال التالي:
7/8 = 0,875
7000 ÷ 8
2- تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري، هنا نتذكر أن علامة النسبة المئوية تعني جزءًا من المئة، فنقسم العدد الذي يسبقها بمائة، الأمر الذي يعني تحريك الفاصلة العشرية خانتين إلى اليسار. على سبيل المثال 75% تساوي 0,75
3- تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي، هنا نقرأ الكسر بصوت عال، ثم نكتب العدد الذي قرأناه في شكل كسر، فمثلا 0,25 تقرأ 25 من مئة، فنكتب 25/100، وباستطاعتنا بعد هذا أن نقسم كلاً من البسط والمقام بالعدد 25 فنحصل على 1/4 .
التناسب. يكون أي كسرين متكافئين تناسـبا، مثل 3/4 = 6/8 أو 2/25 = 8/100. وتأخذ فكرة التناسب أهميتها عندما نعلم ثلاثة من الحدود ونرغب في معرفة الرابع. فلنفترض مثلا أن أحدنا قام بحل 16 سؤالاً من 25 في اختبار ما، ويرغب في معرفة كم جزءاً من المائة يشكل ما حله. إن أفضل طريقة للحصول على النتيجة هي أن نقول إن: 16 مقارنة بـ 25 هي كالعدد المطلوب مقارنا بـ 100 ولذا نكتب 16/25 = ؟/100. وهناك طريقتان لحل هذه المسألة، الطريقة الأولى هي بملاحظة أن ضرب 25 بالعدد 4 يعطينا 100، ولذا يجب علينا أن نضرب 16 بالعدد 4 فنحصل على 16/25 = 64/100. ونستطيع التحقق من صحة الإجابة بضرب بسط الأول في مقام الثاني، ومقارنته بحاصل ضرب بسط الثاني في مقام الأول. أما في الطريقة الثانية فنضع حرف ب مثلا ليمثل العدد المطلوب، وعندئذ يكون لدينا 16/25 = ب/100 وبما أن الكسرين متساويان، فإن حاصل ضرب 16 بمائة لابد أن يساوي حاصل ضرب (ب) بخمس وعشرين، فيكون لدينا 1,600 = 25 (ب). وإذا قسمنا طرفي هذه المعادلة بالعدد 25 نحصل على (ب) = 64 انظر: التناسب.
نبذة تاريخية
نمَّى قدماء المصريين المهارات الأساسية في علم الحساب قبل آلاف السنين. رسم على حائط يرجع إلى 1500 ق. م يبين المصريين وهم يقيسون ويسجلون مقادير حصادهم. وهذا الرسم في مقبرة بمدينة طيبة القديمة، الأقصر الآن .
قام العلماء المختصون بترجمة ألواح الطين البابلية. فاتضح أن البابليين كانوا على قدر كبير من البراعة في علم الحساب والفلك، وذلك منذ أكثر من 4000 سنة؛ حيث قاموا باستحداث وتطوير النظام الذي نستخدمه الآن لقياس الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. ولما كان هنالك 60 ثانية في الدقيقة، و 60 دقيقة في الساعة، فقد بني هذا النظام على العشرات حتى العدد 60، وعلى 60 من بعد ذلك. وتدل الألواح الطينية على أن البابليين منذ مايقرب من 2,400 سنة مضت قد استخدموا رمزاً للعدد صفر، ورمزا آخر للفاصلة العشرية. ومع أننا قد ورثنا فكرة استخدام العدد 60 للزمن والزوايا، إلا أن فكرة البابليين عن قيمة الخانة ضاعت منا حتى أعاد الهنود اكتشافها .
العرب وعلم الحساب. كانت طريقة العرب القديمة في الحساب هي نظام العدّ في كل عمليات البيع والشراء والتوريث وقياس الأرض وعمليات الوزن والمكيال وتوزيع الغنائم وحساب الأيام والليالي... إلخ. وكان ذلك إلى بداية العصر العباسي، ثم أخذوا بعد ذلك بحساب الجمل أي بالأحرف.
كان الهنود يستعملون سوينا وتعني الفراغ أو الخواء لتدل على كلمة صفر، وكان العرب يستخدمون هذا اللفظ (صفر) للدلالة على معنى الخلو منذ أمد بعيد. ومن ذلك قولهم صفر اليدين؛ أي خال اليدين، ومنها صفر الشهر المعروف. وقد كان الصفر العربي يرسم في الأصل حلقة صغيرة وسطها فراغ وبقيت على ذلك في المغرب الإسلامي والأندلس، بينما انطمست في المشرق فصارت نقطة (0) للتفريق بين الصفر والرقم 5 (خمسة) وقد ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية تعود إلى عام 274هـ، 787م وذلك قبل أن تظهر في الكتب الهندية. وقد كان لظهور الصفر دور كبير في حل مسائل حسابية كثيرة وبناء المعادلات الرياضية الكبرى التي ظهرت فيما بعد.
ومن الذين اهتموا بالرياضيات وعلوم الحساب الكندي (ت252هـ) وجماعة إخوان الصفا وأبو بكر محمد بن الحسن الكرخي (ت420هـ) وابن البنّاء المراكشي (ت721هـ) وغياث الدين جمشيد الكاشي (ت840هـ) صاحب كتاب مفتاح الحساب حيث توسع في استخدام الأرقام الهندية، وابن الهائم القاضي (ت815هـ) وغيرهم من علماء الحساب الذين وضعوا أصوله وألَّفوا في مناحيه الكثير من المسائل والأرقام والعوامل الحسابية وعلاقاتها بعضها ببعض.
لمزيد من المعلومات، انظر: العلوم عند العرب والمسلمين (العلوم الرياضية).
ونظام الاعداد اليوم في معظم بقاع العالم من اختراع الهنود، ثم قام العرب بنقلة إلى أوربا قبل عام 1200م , و غير ان استخدام الفاصلة العشرية لم يظهر الا بعد القرن السابع عشر .
واستخدامنا للكسور العشرية في تزايد. فبدلا من قياس السوائل بأرباع الجالون أو الباينتات، فإننا نقيسها بالنظام المتري، ونكتب الكسور بشكلها العشري، بدلاً من كتابتها كسوراً عادية
