حساب التفاضل والتكامل
القطع المكافئ
حساب التفاضل والتكامل من الرياضة العالية في العصر الحديث، وأشهر أنواع الطرق التقدمية في الرياضة العالية، وهي طريقة تستخدم مجموعة من الرموز الخاصة بها لحل المسائل المختلفة. وحساب التفاضل والتكامل يمدنا بالوسائل لحساب معدل تغير دالة بالنسبة إلى تغيرها المطلق. ويمكن الوصول إلى ذلك إذا عرفنا الزيادة في المتغير المطلق وما يقابلها من زيادة في قيمة الدالة. وكلما اعتبرنا الزيادة في التغير المطلق قريبة من الصفر، فإن النسبة بين الدالة وزيادة المتغير المطلق تقترب من قيمة معينة تسمى مشتق الدالة. وهذه القيمة هي معدل تغير الدالة إلى تغيرها المطلق.
وبطريقة حساب التفاضل والتكامل هذه أمكن الحصول على قوانين رياضية لمشتقات مختلف الدوال الشائعة. ومشتقات الدوال الناتجة يمكن استعمالها لمعرفة المماسات والنهايات الكبرى من خواص الدالة المذكورة.
وحساب التكامل طريقته عكس طريقة حساب التفاضل، ففي التكامل نبدأ بمشتق الدالة ونحاول الوصول منها إلى الدالة نفسها، ويعتبر حساب التكامل ذا فائدة كبيرة في حساب مساحات الأشكال غير المنتظمة، والأحجام وغيرها.
وقد جاء في كتاب "تاريخ الرياضيات" للعالم سميث هذا النص: يتعسر أن نحدد بتأكيد إلى من يرجع الفضل في العصور الحديثة في عمل أول شيء جدير بالاعتبار في حساب التفاضل والتكامل ولكن في استطاعتنا أن نقول إن العالم "ستيفن" يستحق أن يحل محلا هاما من الاعتبار، وخاصة في تناوله موضوع إيجاد مركز الثقل لأشكال هندسية مختلفة. وقد وجد علماء آخرون في القرون المتوسطة حلوا مسائل في إيجاد المساحات والحجوم بطرق يتبين منها تأثير نظرية إفناء الفرق اليونانية على يد هؤلاء العلماء. وهذه الطريقة تنم نوعا ما عن طريقة التفاضل والتكامل.
ومن هؤلاء العلماء يجدر بنا أن نذكر ثابت بن قرة الذي أوجد حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره". وتقول هذه النظرية إنه إذا ضوعف عدد أضلاع المضلع المنتظم، المرسوم بين محيطين أو مساحتين، إلى ما لا نهاية، صغُر الفرق تدريجيا بين الأضلاع كلما اقترب من المركز، واقترب من الصفر حتى يفنى.
وقد كان العالم الرياضي العربي ثابت بن قرة الذي عاش في القرن الثالث الهجري / التاسع الميلادي، من الذين مهدوا لإيجاد علم التفاضل والتكامل وهو علم يجم ع بين الحساب والجبر والهندسة. وكان ذلك حين أوجد "حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره"، وحين حل معادلة من معادلات الدرجة الثالثة بطريقة هندسية وذلك في كتابه: مدخل إلى كتاب إقليدس ويخص هذا الحل المعادلة التالية: س3+أ2ب = ج س2
وكان حله لهذه المعادلة بإيجاد قيمة س لنقطة تقاطع المنحنى س2 = أ ص (قطع مكافئ) والمنحنى ص = أ ب (قطع زائد). وهذه الحالة الخاصة لتلك المعادلة أولاها كل من العالمين: ابن الهيثم ، و عمر الخيام عناية خاصة. ولولا نتاج هذا العلم والتسهيلات التي أوجدها في حلول كثيرة من المسائل العويصة والملتوية، لما كان بالإمكان الاستفادة من بعض القوانين الطبيعية، واستغلالها لخير الإنسانية.
ومن الذين مهدوا لحساب التفاضل والتكامل من بعد ثابت بن قرة العالم الرياضي البوزجاني ، والعالم الرياضي بهاء الدين العاملي
ومن بعد العلماء العرب الذين مهدوا لحساب التفاضل والتكامل يأتي العالم الغربي إسحق نيوتن الذي بلغ بهذا العلم ذروته وكماله الرياضيين في القرن الحادي عشر الهجري / السابع عشر الميلادي، حين قدم عديدا من الدالات على مسلسلات لا نهائية في قدرات (س) . ومن ثم توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة الجيب التمام (س) وظا (س) .
ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل الذي مهد له العلماء العرب، أعيد النظر في تحليل الدوال المثلثية، وما تزال هذه الدوال تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية.
ومن العلماء الغربيين الذين بحثوا في حساب التفاضل والتكامل العالم الأسكتلندي "جورج بول" (1231 -1281هـ / 1815 -1864م) الذي مهد بمنطقه الرياضي لعمل الحاسوب. ومن أهم المصطلحات التي ارتبطت بحساب التفاضل وتكامل:
القطع المكافئ
منحنى مستو يكون بعد أي نقطة عليه من نقطة ثابتة (البؤرة) في المستوى مساويا لبعدها عن خط ثابت (الدليل) . وهو أيضا القطاع المخروطي الناتج من تقاطع مستو مواز لأحد رواسم المخروط مع السطح المخروطي.
ويطلق على الخط المار بالبؤرة عموديا على الدليل اسم محور القطع المكافئ. وهو يقطع المنحنى عند الرأس. أما الوتر المار بالبؤرة عموديا على المحور فيسمى "الوتر البؤري العمودي" ومن أمثلة وجود هذا المنحنى المسار الذي تسلكه قذيفة أطلقت في اتجاه غير رأسي.
قطع زائد
منحن ى مستو الفرق فيه -بين بعدي أي نقطة عليه عن نقطتي البؤرتين الثابتتين- ثابت لجميع نقط المنحنى. ويقع مركز القطع الزائد في منتصف المسافة بين البؤرتين.
أما المحور الرئيسي فهو الخط المستقيم المار بالبؤرتين. ويتقاطع هذا المحور مع المنحنى عند الرأسين. والمحور المستعرض هو الخط المستقيم الواصل بين الرأسين. ويطلق اسم الوتر البؤري على الوتر المار بإحدى البؤرتين عموديا على المحور الرئيسي. والخطوط المتقاربة هي مستقيمات في نفس المستوى، يقترب منها المنحنى عند الما لا نهاية.
ويطلق اسم القطع الزائد المتساوي الجوانب على الخطوط التقاربية المتعامدة، ومن أمثلة حدوث القطع الزائد في الطبيعة مسارات بعض الشهب.
قطع ناقص (إهليلج)
منحنى متوسط مقفل يكون فيه مجموع بعدي أي نقطة عليه من نقطتين ثابتتين في المستوى ثابتة لجميع النقط الواقعة على المنحنى.
ويمكن تعريفه أيضا بأنه القطاع المخروطي الناتج من تقاطع مستو مع جميع رواسم المخروط (الدائرة حالة خاصة) . ويقع مركز القطع الناقص في منتصف المسافة بين البؤرتين. ويطلق اسم المحور الأكبر على الوتر المار بين بؤرتين، ويطلق اسم المحور الأصغر على الوتر العمودي عليه مارا بالمركز. أما الرأسان فهما نقطتا تقاطع المحور الأكبر مع المنحنى، ومن أمثلة وجود القطع الناقص في الطبيعة مسارات الكواكب.
القطع المكافئ
حساب التفاضل والتكامل من الرياضة العالية في العصر الحديث، وأشهر أنواع الطرق التقدمية في الرياضة العالية، وهي طريقة تستخدم مجموعة من الرموز الخاصة بها لحل المسائل المختلفة. وحساب التفاضل والتكامل يمدنا بالوسائل لحساب معدل تغير دالة بالنسبة إلى تغيرها المطلق. ويمكن الوصول إلى ذلك إذا عرفنا الزيادة في المتغير المطلق وما يقابلها من زيادة في قيمة الدالة. وكلما اعتبرنا الزيادة في التغير المطلق قريبة من الصفر، فإن النسبة بين الدالة وزيادة المتغير المطلق تقترب من قيمة معينة تسمى مشتق الدالة. وهذه القيمة هي معدل تغير الدالة إلى تغيرها المطلق.
وبطريقة حساب التفاضل والتكامل هذه أمكن الحصول على قوانين رياضية لمشتقات مختلف الدوال الشائعة. ومشتقات الدوال الناتجة يمكن استعمالها لمعرفة المماسات والنهايات الكبرى من خواص الدالة المذكورة.
وحساب التكامل طريقته عكس طريقة حساب التفاضل، ففي التكامل نبدأ بمشتق الدالة ونحاول الوصول منها إلى الدالة نفسها، ويعتبر حساب التكامل ذا فائدة كبيرة في حساب مساحات الأشكال غير المنتظمة، والأحجام وغيرها.
وقد جاء في كتاب "تاريخ الرياضيات" للعالم سميث هذا النص: يتعسر أن نحدد بتأكيد إلى من يرجع الفضل في العصور الحديثة في عمل أول شيء جدير بالاعتبار في حساب التفاضل والتكامل ولكن في استطاعتنا أن نقول إن العالم "ستيفن" يستحق أن يحل محلا هاما من الاعتبار، وخاصة في تناوله موضوع إيجاد مركز الثقل لأشكال هندسية مختلفة. وقد وجد علماء آخرون في القرون المتوسطة حلوا مسائل في إيجاد المساحات والحجوم بطرق يتبين منها تأثير نظرية إفناء الفرق اليونانية على يد هؤلاء العلماء. وهذه الطريقة تنم نوعا ما عن طريقة التفاضل والتكامل.
ومن هؤلاء العلماء يجدر بنا أن نذكر ثابت بن قرة الذي أوجد حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره". وتقول هذه النظرية إنه إذا ضوعف عدد أضلاع المضلع المنتظم، المرسوم بين محيطين أو مساحتين، إلى ما لا نهاية، صغُر الفرق تدريجيا بين الأضلاع كلما اقترب من المركز، واقترب من الصفر حتى يفنى.
وقد كان العالم الرياضي العربي ثابت بن قرة الذي عاش في القرن الثالث الهجري / التاسع الميلادي، من الذين مهدوا لإيجاد علم التفاضل والتكامل وهو علم يجم ع بين الحساب والجبر والهندسة. وكان ذلك حين أوجد "حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره"، وحين حل معادلة من معادلات الدرجة الثالثة بطريقة هندسية وذلك في كتابه: مدخل إلى كتاب إقليدس ويخص هذا الحل المعادلة التالية: س3+أ2ب = ج س2
وكان حله لهذه المعادلة بإيجاد قيمة س لنقطة تقاطع المنحنى س2 = أ ص (قطع مكافئ) والمنحنى ص = أ ب (قطع زائد). وهذه الحالة الخاصة لتلك المعادلة أولاها كل من العالمين: ابن الهيثم ، و عمر الخيام عناية خاصة. ولولا نتاج هذا العلم والتسهيلات التي أوجدها في حلول كثيرة من المسائل العويصة والملتوية، لما كان بالإمكان الاستفادة من بعض القوانين الطبيعية، واستغلالها لخير الإنسانية.
ومن الذين مهدوا لحساب التفاضل والتكامل من بعد ثابت بن قرة العالم الرياضي البوزجاني ، والعالم الرياضي بهاء الدين العاملي
ومن بعد العلماء العرب الذين مهدوا لحساب التفاضل والتكامل يأتي العالم الغربي إسحق نيوتن الذي بلغ بهذا العلم ذروته وكماله الرياضيين في القرن الحادي عشر الهجري / السابع عشر الميلادي، حين قدم عديدا من الدالات على مسلسلات لا نهائية في قدرات (س) . ومن ثم توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة الجيب التمام (س) وظا (س) .
ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل الذي مهد له العلماء العرب، أعيد النظر في تحليل الدوال المثلثية، وما تزال هذه الدوال تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية.
ومن العلماء الغربيين الذين بحثوا في حساب التفاضل والتكامل العالم الأسكتلندي "جورج بول" (1231 -1281هـ / 1815 -1864م) الذي مهد بمنطقه الرياضي لعمل الحاسوب. ومن أهم المصطلحات التي ارتبطت بحساب التفاضل وتكامل:
القطع المكافئ
منحنى مستو يكون بعد أي نقطة عليه من نقطة ثابتة (البؤرة) في المستوى مساويا لبعدها عن خط ثابت (الدليل) . وهو أيضا القطاع المخروطي الناتج من تقاطع مستو مواز لأحد رواسم المخروط مع السطح المخروطي.
ويطلق على الخط المار بالبؤرة عموديا على الدليل اسم محور القطع المكافئ. وهو يقطع المنحنى عند الرأس. أما الوتر المار بالبؤرة عموديا على المحور فيسمى "الوتر البؤري العمودي" ومن أمثلة وجود هذا المنحنى المسار الذي تسلكه قذيفة أطلقت في اتجاه غير رأسي.
قطع زائد
منحن ى مستو الفرق فيه -بين بعدي أي نقطة عليه عن نقطتي البؤرتين الثابتتين- ثابت لجميع نقط المنحنى. ويقع مركز القطع الزائد في منتصف المسافة بين البؤرتين.
أما المحور الرئيسي فهو الخط المستقيم المار بالبؤرتين. ويتقاطع هذا المحور مع المنحنى عند الرأسين. والمحور المستعرض هو الخط المستقيم الواصل بين الرأسين. ويطلق اسم الوتر البؤري على الوتر المار بإحدى البؤرتين عموديا على المحور الرئيسي. والخطوط المتقاربة هي مستقيمات في نفس المستوى، يقترب منها المنحنى عند الما لا نهاية.
ويطلق اسم القطع الزائد المتساوي الجوانب على الخطوط التقاربية المتعامدة، ومن أمثلة حدوث القطع الزائد في الطبيعة مسارات بعض الشهب.
قطع ناقص (إهليلج)
منحنى متوسط مقفل يكون فيه مجموع بعدي أي نقطة عليه من نقطتين ثابتتين في المستوى ثابتة لجميع النقط الواقعة على المنحنى.
ويمكن تعريفه أيضا بأنه القطاع المخروطي الناتج من تقاطع مستو مع جميع رواسم المخروط (الدائرة حالة خاصة) . ويقع مركز القطع الناقص في منتصف المسافة بين البؤرتين. ويطلق اسم المحور الأكبر على الوتر المار بين بؤرتين، ويطلق اسم المحور الأصغر على الوتر العمودي عليه مارا بالمركز. أما الرأسان فهما نقطتا تقاطع المحور الأكبر مع المنحنى، ومن أمثلة وجود القطع الناقص في الطبيعة مسارات الكواكب.
